Como resolver problemas envolvendo Conjuntos?
PROBLEMA 1:
Os 36 alunos de uma classe fizeram uma prova de 3 questões. Sabendo-se que 4 erraram todas as questões, 5 só acertaram a primeira, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira e 7 acertaram a segunda e a terceira, determine quantos alunos acertaram as três questões.
SOLUÇÃO
CLICK EM PLAY E OUÇA AS INFORMAÇÕES DA ESTUDANTE JÚLIA
Se você desenhou direitinho, perceba que dentro do círculo "questão 1" tem 4 áreas. Uma delas só pertence ao "questão 1", outra pertence também ao "questão 2", outra pertence também ao "questão 3" e outra ainda pertence aos três círculos. E isso vale para todos os círculos. No total, você vai ter 8 áreas no seu desenho, que eu vou identificar aqui pelas letras de A a H e explicar quais são:
Se você desenhou direitinho, perceba que dentro do círculo "questão 1" tem 4 áreas. Uma delas só pertence ao "questão 1", outra pertence também ao "questão 2", outra pertence também ao "questão 3" e outra ainda pertence aos três círculos. E isso vale para todos os círculos. No total, você vai ter 8 áreas no seu desenho, que eu vou identificar aqui pelas letras de A a H e explicar quais são:A - área do retângulo que está fora dos círculos (aqui estão os alunos que erraram todas as questões)
B - área do círculo "questão 1" que não pertence aos outros círculos (aqui ficam os alunos que acertaram APENAS a questão 1)
C - área do círculo "questão 2" que não pertence aos outros círculos (aqui ficam os alunos que acertaram APENAS a questão 2)
D - área do círculo "questão 3" que não pertence aos outros círculos (aqui ficam os alunos que acertarma APENAS a questão 3)
E - área menor pertencente aos 3 círculos (aqui ficam os alunos que acertaram TODAS as questões, que é o que você quer descobrir)
F - área pertencente aos círculos "questão 1" e "questão 2" (aqui ficam os alunos que acertaram a 1 e a 2, mas erraram a 3)
G - área pertencente aos círculos "questão 1" e "questão 3" (aqui ficam os alunos que acertaram a 1 e a 3, mas erraram a 2)
H - área pertencente aos círculos "questão 2" e "questão 3" (aqui ficam os alunos que acertaram a 2 e a 3, mas erraram a 1)
Ufa! É difícil explicar desenhos só com palavras... não é à toa que dizem que uma imagem vale mais que mil palavras...
Vamos às contas, então:
1) O problema diz que 4 erraram todas as questões. Coloque, então um 4 na área A.
2) Diz que 5 acertaram SÓ a primeira.
Coloque um 5 na área B.
3) Diz que 6 acertaram SÓ a segunda.
Coloque um 6 na área C.
5) Diz que 7 acertaram SÓ a terceira.
Coloque um 7 na área D.
Vamos somar quantos deu até aqui?
Você já posicionou 4 + 5 + 6 + 7 alunos, que dá um total de 22 alunos. Restam 14 pra posicionar, e restam as áreas E, F, G e H pra preencher, ou seja,
E + F + G + H = 14
Agora é que vem o grande macete.
6) O problema diz que 9 acertaram a primeira e a segunda, mas aqui não quer dizer que eles tenham errado a terceira, portanto esses 9 têm que ser distribuídos nas áreas E e F.
E + F = 9
7) O problema diz que 10 acertaram a primeira e a terceira. Da mesma forma, temos:
E + G = 10
8) O problema diz que 7 acertaram a segunda e a terceira, ou seja:
E + H = 7
Agora temos que resolver esse probleminha:
E + F + G + H = 14......(1)
E + F = 9.....................(2)
E + G = 10...................(3)
E + H = 7.....................(4)
Se somarmos (2), (3) e (4) dá:
3*E + F + G + H = 26...........(5)
Agora, se subtrairmos a (1) da (5) dá:
2*E = 26 - 14 = 12
E = 6 <==== essa é a RESPOSTA que você quer, esses são os alunos que acertaram TODAS as questões.
Vamos só continuar o problema pra conferir as contas:
Agora que você tem o valor de E, já dá pra achar F, G e H pelas equações (2), (3) e (4).
F = 3
G = 4
H = 1
Pronto! Você vai ver que se somar todas as pessoas que você distribuiu nas regiões vai dar 36 que é o total de alunos:
A+B+C+D+E+F+G+H = 4+5+6+7+6+3+4+1 = 36
Ufa! Terminamos. Espero que você tenha entendido.
PROBLEMAS COM CONJUNTOS - PARTE 2
