RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA - 2º ANO CMA

 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

PROBLEMA 1: O ponteiro maior de um relógio mede aproximadamente 1 m. Em quanto tempo a ponta móvel desse ponteiro percorre em 3π metros?

Solução:

O ponteiro do relógio é equivalente ao raio da circunferência do próprio relógio. Então, a circunferência do relógio mede:

C_{circunferência} = 2πr = 2 . 3,14 . 1 = 6, 28 m

Sabemos que o ponteiro maior do relógio é o ponteiro dos minutos. Logo, ele dá uma volta completa na circunferência em 60 minutos e essa volta completa corresponde ao comprimento total da circunferência que é 6,28m. Assim:

60 min ---------- 6,28m

 x  min ---------- 3π m

Como 3π = 3 . 3,14 = 9,42m, temos:

60 min ---------6,28m

x min ----------9,42 m

Fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos, vem:

6,28 x = 60 . 9,42

6,28x = 565,2

      x = 565,2/6,28

      x = 90 minutos = 1 h 30 min

PROBLEMA 2:  Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 16 horas e 15 minutos ?

Solução:

O menor ângulo formado pelos ponteiros de horas e minutos é dado por:

Observe que acima enquanto o ponteiro de minutos dá uma volta completa de 360° o de horas só anda 30°(que é a distância em graus entre uma hora e outra). O ponteiro de minutos anda 90° (distância entre 12 e 3 em graus – lembre-se que pra cada valor no relógio temos 30° , logo: 3.30°= 90°). Então, enquanto o ponteiro de minutos anda 90° o ponteiro de horas andará y. Veja que de 3 para 4 temos 30°.

PROBLEMA 3:   Qual o valor numérico da expressão A - B, quando:   

Solução:

Primeiro vamos calcular cada um dos valores separadamente:

a)      Sen 2π

Pela circunferência trigonométrica podemos observar que o seno de 2π é 0 (não esqueça que seno é referente ao eixo y). O cosseno de π é -1 (não esqueça que cosseno refere-se ao eixo x). O seno de 0 é 0...

PROBLEMA 4:   Qual o valor da expressão y = 4^senx + 2^{sen 12x} + 3^{sen 3x}, para x = 30º?

Solução:

PROBLEMA 5:   Calcule o valor numérico de A tal que A= sen 2x – sen²x, para  x = π/2.

Solução:

Temos: x = π/2 = 90°

Então:

sen 2x = sen 2.90° = sen 180° = 0 (observe o sen π na circunferência trigonométrica)

sen x = sen 90° = 1

Observe que queremos o valor de sen²x então:

sen²x = sen x . sen x = sen 90°. sen 90° = 1 .1 = 1

Assim:

A= sen 2x – sen²x

A = 0       -       1

A = - 1

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SUPERINTRIGANTE

Receita contra a ansiedade matemática

ARTIGO PUBLICADO NA REVISTA SUPERINTERSSANTE

Por que estudantes sagazes, brilhantes e inteligentes evitam a Matemática? Ela é a chave para o sucesso científico, tecnológico, industrial e comercial, mas são poucos os que a ela se dedicam com prazer. O relatório da Sociedade Americana de Matemática registra que o último ano acadêmico apresentou, nos Estados Unidos, o menor número de doutoramentos na área nos últimos quinze anos. O presidente do Comitê da Sociedade, Edward A. Cônnor, declarou, preocupado, que isso representa uma ameaça para a segurança nacional e para a competitividade econômica do país, no cenário internacional.

Um artigo recente do The New York Times, sob o título "Curando a ansiedade matemática", registrou as preocupações da chefe de orientação curricular da Universidade de Wesleyan, Sheila Tobiss. Desde 1970, ela se preocupa com os sintomas de ansiedade matemática dos jovens estudantes e, em 1975, decidiu abrir no campus uma Clínica para Ansiedade Matemática. Colocou símbolos matemáticos por toda parte e perguntou aos consulentes: "Eles parecem ameaçadores a vocês?"

Como parte do tratamento, encorajou-os a falar de suas experiências nessa área. Percebeu que muitos se saíam bem com a Matemática na escola elementar, até tropeçarem em algum problema - a Geometria, por exemplo - que não conseguiam entender. Sem ajuda eficiente, passaram a sentir-se estúpidos - e desistiram. Essa experiência - digamos, clínica - transformou-se em dois livros. Sheila Tobiss quer ter a certeza de que especialistas em História ou Literatura, por exemplo, não sairão da escola sem saber nada de Matemática.

Estimulados por aquele artigo, fo-mos entrevistar alguns estudantes que ingressaram em nossas universidades este ano no campo das Humanidades. E percebemos que entre eles não é raro o desejo de nunca mais enfrentar um curso de Matemática. Persiste o mito de que ela trata de um assunto esotérico, necessário somente aos gênios científicos. Parece enfadonha e, freqüentemente, os professores a fazem assim. Eles dão aos estudantes poucas oportunidades para debater a Matemática; ao contrário, quase sempre insistem em respostas corretas e exatas, reforçam a necessidade de memorização de regras, cobram rapidez.

Falar, pensar e sobretudo escrever sobre Matemática é raro na escola, embora seja uma constante entre os profissionais. Quando discutem seu trabalho durante o jantar, eles costumam cobrir a toalha da mesa com cálculos e raciocínios. Isso quase sempre prejudica a paz conjugal, mas com certeza ajuda a dissipar a aparente ari-dez do campo em que trabalham. Os estudantes imaginam que é preciso decorar para saber; os especialistas, ao contrário, preferem trabalhar as idéias, mesmo quando esqueceram a fórmula. É verdade que, para trabalhar as idéias, seria necessário desfrutar de um grau de liberdade que não existe na escola. Os livros, em geral, são roteiros de instruções que não fixam a atenção dos estudantes, impedindo-os de estabelecer aquilo que os psicólo-gos chamam reforço espiral: insistir num mesmo ponto, aumentando, gradativamente, o nível de compreensão. Isso se deve ao fato de que, na maioria das vezes, os assuntos são apresentados ao contrário do que sucedeu no processo de criação.

Ou seja: uma vez completados os teoremas e suas demonstrações, toda apresentação simbólica e verbal é rearranjada e polida segundo os cânones do método dedutivo. Isso dificulta a compreensão, pois elimina o proces-so de descoberta e não documenta o traço mais humano da produção. Muitas vezes sonega até mesmo a informação de que o produto final apresentado é o resultado de séculos de pensamentos, erros e acertos de centenas de pessoas brilhantes.

Talvez seja um consolo saber que alguns dos erros que você cometeu durante sua vida escolar podem ter sido problemas que a humanidade levou séculos para vencer. Matemáticos não são as pessoas mais inteligentes, necessariamente. São apenas aquelas que se conhecem bem e sabem quando devem folhear um livro e quando devem deter-se longa e atentamente sobre um parágrafo. Não se julgam tão severamente quando não encontram a resposta certa. São pacientes, tenazes e raramente muito rápidas.

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PERÓLAS DA MATEMÁTICA

A seguir mostramos algumas "pérolas" enviadas por nossos usuários, outras encontradas na internet e até mesmo aquelas encontradas nas provas que aplico, que são gafes ou simplesmente brincadeiras feitas pelos alunos nas provas.

  PERÓLA DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Pérola do limite

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Pérola do x

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Pérola da expansão

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Pérola da raiz

 

Pérola do seno

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Pérola do descanso

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Outras pérolas

"A principal função da raiz é se enterrar."

"Ângulo é duas linhas que vão indo e se encontram."

"Triângulo são os filhos trigêmeos do ângulo."

"Circunferência é uma roda chata. Para a sua fabricação usamos o compasso."

"Tangente é quando a bola passa raspando no jogo de futebol. Ela também tem o nome de trave."

"Conjunto vazio é aquele em que os músicos não sabem nada de música."

"Um paralelepípedo é um animal cujos dois pés são paralelos."

"Um número concreto é um número que construímos com cimento."

"Triângulo é quando duas pessoas gostam da mesma, como vemos nas novelas o dito chamado ‘triângulo amoroso’."

"Quando abre o ângulo é seno e quando fecha é cosseno porque cola no seno."

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